Δευτέρα 4 Φεβρουαρίου 2013

Μέθοδος Horner

Μέθοδος Horner

Τα πολυώνυμα πρώτου βαθμού παραγοντοποιούνται ΄΄χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους''.Τα πολυώνυμα δευτέρου βαθμού με την διακρίνουσα...(http://physicforeverybody.blogspot.gr/2013/01/blog-post_30.html)

Τι γίνετε όμως με τα πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού...? Η λύση είναι η μέθοδος horner...

Ο καλύτερος τρόπος για να δείξουμε την μέθοδο και να γίνει κατανοητή είναι μέσα από κάποια παραδείγματα στα οποία θα εξηγώ κάθε βήμα...

Παράδειγμα 1ο

2x3-7x2+11x-10 

Αρχικά βρίσκουμε μία προφανή ρίζα του...
Δοκιμάζουμε το χ=0 => -10≠0
Δοκιμάζουμε το χ=1 => 2-7+11-10=-4≠0
Δοκιμάζουμε το χ=-1 => -2-7-11-10=-30≠0
Δοκιμάζουμε το χ=2 => 16-28+22-10=0 

Άρα το 2 είναι μία προφανής ρίζα του πολυωνύμου....οπότε έχουμε...

Γράφουμε τους συντελεστές των μεταβλητών στη σειρά...

2     -7     11     -10

Κατόπιν τραβάμε μία κάθετη γραμμή από τα δεξιά των συντελεστών και γράφουμε τη ρίζα που βρήκαμε...

2     -7     11     -10  |  2

Στη συνέχεια κατεβάζουμε των πρώτο συντελεστή κάτω...

2     -7     11     -10  |  2

                                          2

Έπειτα των πολλαπλασιάζουμε με την ρίζα και το γινόμενο το γράφουμε κάτω από τον δεύτερο συντελεστή...στην περίπτωση μας 2χ2=4....

                                   2     -7     11     -10  |  2
                                                       4
                                            2

Μετά προσθέτουμε το δεύτερο συντελεστή με το από κάτω του και το γράφουμε αμέσως από κάτω...δηλαδή στην περίπτωσή μας...-7+4=-3 



                                   2     -7     11     -10  |  2
                                                       4
                                            2      -3

Και η διαδικασία συνεχίζετε όπως την περιγράψαμε...-3χ2=-6

                                     2     -7     11     -10  |  2
                                                         4     -6
                                               2     -3

....11-6=5

                                      2     -7     11     -10  |  2
                                                           4     -6
                                               2     -3      5

.....5χ2=10


      2     -7     11     -10  |  2
                                                      4     -6       10 
                                       2     -3      5


....-10+10=0


                         2     -7     11     -10  |  2
                                                 4      -6       10 
                         2     -3      5        0

Επομένως το πολυώνυμο παραγοντοποιείται ως εξής...

                                         (x-2)(2x2-3x+5)




Όπου το πολυώνυμο 3ου βαθμού έσπασε σε γινόμενο πολυωνύμων ενός πρώτου και ενός δευτέρου...οι συντελεστές του δευτέρου βαθμού πολυωνύμου προκύπτουν από την τελευταία γραμμή....


    


              Φιλικά, Κώστας


Τετάρτη 30 Ιανουαρίου 2013

Πρωτοβάθμια Δευτεροβάθμια εξίσωση

Πρωτοβάθμια εξίσωση



Έχει τη γενική μορφή...

αχ+β=γ 

όπου α,β,γ γνωστοί αριθμοί και χ η άγνωστη ποσότητα.

Η επίλυση της έχει δύο βήματα.

1) (χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους), γνωστός θεωρείται ότι πολλαπλασιάζει η διαιρεί την άγνωστη ποσότητα χ.

αχ=γ-β


το β πηγαίνοντας στο δεύτερο μέρος αλλάζει πρόσημο.

2) διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή της άγνωστης ποσότητας χ.

χ=(γ-β)/α

Δευτεροβάθμια εξίσωση

Έχει τη γενική μορφή...

αχ2+βχ+γ=δ


Η επίλυση της.
αχ2+βχ+γ-δ=0


Κατόπιν βρίσκουμε την διακρίνουσα.

                             Δ=β2-4α(γ-δ)


Στη συνέχεια διακρίνουμε περιπτώσεις.

1) Αν Δ>0 τότε έχουμε δύο ρίζες της εξίσωσης.

                                      Χ1,2=(-β±Δ1/2)/2α

2) Αν Δ=0 τότε έχουμε μία διπλή ρίζα της εξίσωσης.

                                 χ=-β/2α

3) Αν Δ<0 τότε έχουμε δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες της εξίσωσης.

                                            Χ1,2=[-β±ι(-Δ1/2)]/2α

   όπου ι είναι ο φανταστικός αριθμός ι2=-1.

Φιλικά,Κώστας





Τρίτη 29 Ιανουαρίου 2013

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση


Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Είναι η κίνηση που εκτελείται πάνω σε μία ευθεία, με σταθερή ταχύτητα.

Η βασική εξίσωση κίνησης είναι...

Δχ=υΔt   <=>   χτελαρχ=υ(tτελ-tαρχ)

Όπου
χτελ είναι η τελική θέση του σώματος
χαρχ είναι η αρχική θέση του σώματος
υ είναι η ταχύτητα του (σταθερή)
tτελ είναι η χρονική στιγμή που τελείωσε η κίνηση
tαρχ είναι η χρονική στιγμή που ξεκίνησε η κίνηση


Το Δχ δηλαδή η διαφορά της τελικής από την αρχική θέση του σώματος, είναι η συνολική απόσταση που διήνυσε το σώμα.
Το Δt δηλαδή η διαφορά της χρονικής στιγμής που τελείωσε η κίνηση από την αρχική που ξεκίνησε, είναι ο χρόνος που διήρκησε η κίνηση του σώματος.

Για να δούμε λίγο ποιο αναλυτικά τις διαφορές αυτές.

Πρώτα ας δούμε το Δχ.



Αν το σώμα κινηθεί από τη θέση -1 στην θέση +2 τότε έχουμε

Δχ= χτελαρχ=2-(-1)=3 >0 => Δχ >0

Αν τώρα το σώμα κινηθεί αντίθετα, δηλαδή από την θέση +2 στην θέση -1 τότε

Δχ= χτελαρχ=-1-2=-3 <0 => Δχ <0

Επομένως, παρατηρούμε ότι η διαφορά αλλάζει πρόσημο, λόγω του ότι πήγαμε την μία φορά δεξιά και την άλλη αριστερά....όμως δεν αλλάζει τιμή...διότι η συνολική απόσταση που διανύσαμε παραμένει ίδια είτε κινηθούμε προς τα δεξιά,είτε προς τα αριστερά.

Ας δούμε τώρα την διαφορά Δt, επειδή ο χρόνος πάντα αυξάνεται...όπως ξέρουμε δεν μπορούμε να γυρίσουμε τον χρόνο πίσω, στον άξονα του χρόνου πάντα το tτελ> tαρχ  => Δt>0 πάντα. Ακόμη δεν υπάρχουν αρνητικοί χρόνοι...ο άξονας του χρόνου ξεκινάει πάντα από το μηδεν.

Λύνοντας την εξίσωση κίνησης ως προς την ταχύτητα έχουμε


Για να την ''εξετάσουμε"....
Ο παρονομαστής θα είναι πάντα θετικός, αφού Δt > 0 . Για τον αριθμητή όμως...όταν Δχ>0 υ>0, ενώ όταν Δχ<0 υ<0. Επομένως, όταν το σώμα κινείται προς τα δεξιά υ>0, αν κινηθεί προς τα αριστερά υ<0

Διαγράμματα....

υ=f(t)


Η ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου. Εφόσον η ταχύτητα είναι σταθερή στην ε.ο.κ. θα έχει την ίδια τιμή για όλες τις χρονικές στιγμές. Βέβαια το διάγραμμα είναι για υ>0, αν υ<0? Μα θα ήταν πάλι μία ευθεία παράλληλη στον άξονα του χρόνου μόνο που θα ήταν στα αρνητικά του άξονα υ

t=f(υ)

Το διάγραμμα του χρόνου συναρτήσει της ταχύτητας είναι όπως το παραπάνω μόνο που τώρα η κόκκινη γραμμή είναι κάθετη. Δεν έχει σημασία που θα βάλουμε τις μεταβλητές, στον κάθετο ή στον οριζόντιο άξονα...αυτό που έχει σημασία είναι τα σημεία του διαγράμματος να επαληθέουν τις αντίστοιχες τιμές.

χ=f(t) 



Η θέση συναρτήσει του χρόνου. Αφού όπως είπαμε η υ=σταθερή είναι μία μορφή y=αχ (χαρχ=0) στο συγκεκριμένο διάγραμμα. Αν χαρχ≠0 τότε η μορφή θα ήταν y=αχ+β.

χτελ=υ(tτελ-tαρχ)+χαρχ

Φιλικά, Κώστας